Question

过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若x轴上的定点M，总能使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．

①求椭圆的“左特征点”M的坐标；0

②试根据①中的结论猜测：椭圆的“左特征点”M是一个怎样的点？并证明你的结论

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设为椭圆的左特征点， 　　由椭圆的左焦点为，可设直线AB的方程为， 　　代入得 　　即 　　设，则 　　被轴平分 　　 　　 　　 　　即 　　 　　于是 　　，即 　　 　　(2)对于椭圆 　　 　　于是猜想：椭圆的“左特征点”是椭圆的左准线与轴的交点 　　证明：设椭圆的左准线与轴相交于M点，过A、B分别作的垂线，垂足分别为C、D，据椭圆的第二定义：即 　　 　　于是，即 　　 　　为的平分线，故M为椭圆的“左特征点”