Question

【题目】数列{an}满足a1=1，an+1= （n∈N*）．
（1）计算a2 ， a3 ， a4 ， 并由此猜想通项公式an；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）解：a2= ，a3= = ，a4= = ．

猜想：an= ．

（2）证明：当n=1时，a1= ，结论成立，

假设n=k时猜想成立，即ak= ，

则ak+1= = = = = ．

即当n=k+1时，猜想成立．

∴对一切n∈N，都有an=

【解析】（1）根据递推式计算，猜想；（2）检验n=1时猜想成立，假设n=k时猜想成立，证明当n=k+1时猜想也成立．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的通项公式和数学归纳法的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式；数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法．