Question

已知函数f(x)=(2-a)lnx+

1

x

+2ax，(a∈R)
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）当a＜0时，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）求导数，确定函数的单调性，即可求得函数的极值；
（2）求导数，对a分类讨论，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间．

解答：解：（1）当a=0时，f(x)=2lnx+

1

x

f′(x)=

2

x

-

1

x2

=

2x-1

x2

(x＞0)…（2分）

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

…（4分）
∴当x=

1

2

时，f（x）极小值=f(

1

2

)=2-2ln2，无极大值…（5分）
（2）f′(x)=

2-a

x

-

1

x2

+2a=

2ax2+(2-a)x-1

x2

=

2a(x- 1 2 )(x+ 1 a )

x2

(x＞0)…（6分）
①当

1

2

=-

1

a

，即a=-2时，f'（x）≤0恒成立，∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞）…（7分）
②当

a＜0 1 2 ＜- 1 a

，即-2＜a＜0时，f（x）的单调递减区间为(0，

1

2

)，(-

1

a

，+∞)，f（x）的单调递增区间为(

1

2

，-

1

a

)…（9分）
③当

a＜0 1 2 ＞- 1 a

，即a＜-2时，f（x）的单调递减区间为(0，-

1

a

)，(

1

2

，+∞)，f（x）的单调递增区间为(-

1

a

，

1

2

)…（11分）
综上所述：当a＜-2时，f（x）的单调递减区间为(0，-

1

a

)，(

1

2

，+∞)，f（x）的单调递增区间为(-

1

a

，

1

2

)；
当a=-2时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当-2＜a＜0时，f（x）的单调递减区间为(0，

1

2

)，(-

1

a

，+∞)，f（x）的单调递增区间为(

1

2

，-

1

a

)…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．