Question

设集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+2（a-1）x+（a²-5）=0}
（1）若A∩B={2}，求实数a的值
（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据条件A∩B={2}，得2∈B，建立方程即可求实数a的值．
（2）A∪B=A，等价为B⊆A，然后分别讨论B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）有题可知：A={x|x²-3x+2=0}={1，2}，
∵A∩B={2}，
∴2∈B，
将2带入集合B中得：4+4（a-1）+（a²-5）=0
解得：a=-5或a=1
当a=-5时，集合B={2，10}符合题意；
当a=1时，集合B={2，-2}，符合题意
综上所述：a=-5，或a=1．
（2）若A∪B=A，则B⊆A，
∵A={1，2}，
∴B=∅或B={1}或{2}或{1，2}．
若B=∅，则△=4（a-1）²-4（a²-5）=24-8a＜0，解得a＞3，
若B={1}，则

△=24-8a=0 x=- 2(a-1) 2 =1-a=1

，即

a=3 a=0

，不成立．
若B={2}，则

△=24-8a=0 x=- 2(a-1) 2 =1-a=2

，即

a=3 a=-1

，不成立，
若B={1，2}．则

△=24-8a＞0 1+2=-2(a-1) 1×2=a2-5

，即

a＜3 a=- 1 2 a=± 7

，此时不成立，
综上a＞3．

点评：本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，将条件A∪B=A转化为B⊆A是解决本题的关键．