Question

直线y=x+b与抛物线x²=2y交于A、B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，则b=

 

．

Answer 1

分析：先设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）联立方程可得

y=x+b x2=2y

即x²-2x-2b=0有两个不同的解，由OA⊥OB可得x₁x₂+y₁y₂=0，代入整理可得关于b的方程，从而可求b的值

解答：解：设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
联立方程可得

y=x+b x2=2y

即x²-2x-2b=0有两个不同于原点的解
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=-2b，△=4+8b＞0
∵OA⊥OB?

OA

•

OB

=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0?x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0
整理可得2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0
∴b²-2b=0
∴b=0（舍）或b=2
故答案为：2．

点评：本题主要考查了直线方程与抛物线的位置关系的应用，处理直线与曲线的相交问题一般是联立方程，通过方程的解的情况来讨论直线与曲线的位置情况．