Question

已知函数f（x）=|x|（x-4），x∈R．
（1）把函数f（x）写成分段函数的形式；
（2）在给定的坐标系内作函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间；
（3）利用图象回答：当实数k为何值时，方程|x|（x-4）=k有一解？有两解？有三解？

Answer 1

分析：（1）要根据绝对值的定义，利用零点分段法，分当x＜0时和当x≥0时两种情况，化简函数的解析式，最后可将函数y=|x|（x-4）写出分段函数的形式；
（2）根据分段函数图象分段画的原则，结合二次函数的图象和性质，可作出图象，结合图象可得函数的单调区间；
（3）根据（2）中函数的图象，结合函数的极大值为0，极小值为-4，可得方程|x|•（x-4）=k有一解，有两解和有三解时k的取值范围．

解答：解：（1）当x＜0时，y=|x|（x-4）=-x（x-4），
当x≥0时，y=|x|（x-4）=x（x-4），
综上所述：y=

-x(x-4)，x＜0  x(x-4)，x≥0

；
（2）根据分段函数图象的作法，其函数图象如图所示：
函数f（x）的单调增区间为（-∞，0），（2，+∞），减区间为（0，2）；
（3）由（2）中函数的图象可得：
当k＜-4或k＞0时，方程|x|•（x-4）=k有一解，
当k=-4或k=0时，方程|x|•（x-4）=k有两解，
当-4＜k＜0时，方程|x|•（x-4）=k有三解．

点评：本题考查的知识点是分段函数的解析式及其图象的作法，函数的零点，难度不大，属于基础题．