Question

【题目】已知函数
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，判断方程 实根个数.
（3）若 时，不等式 恒成立，求实数 m 的取值范围.

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】当 时， ， ，切点坐标为 (1,0) ，

所以 切线方程为

（2）

【解答】 时，令 ，

， 在 上为增函数

又

所以 在 内有且仅有一个零点

所以 在 内 有且仅有一个实数根

（或说明 也可以）

（3）

【解答】 恒成立，即 恒成立，

又 ，则当 时， 恒成立，

令 ，只需 小于 的最小值，

，

因为， ， 所以，所以 当 时

所以G(X) 在 上单调递减， 所以G(X) 在 的最小值为

则 m 的取值范围是

【解析】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程，导数在最大值、最小值问题中的应用，解决问题的关键是是能将不等式的恒成立问题转化为函数的最值来处理，并得到参数的范围，同时要理解导数的几何意义表示的为切线的斜率.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．