Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，焦距为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，C，D为椭圆上位于直线PQ异侧的两个动点，满足∠CPQ=∠DPQ，求证：直线CD的斜率为定值，并求出此定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆C的方程，利用离心率为

2

2

，焦距为2，求出几何量，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线方程代入椭圆方程，确定x₁+x₂，x₁-x₂，即可求得斜率．

解答：解：（Ⅰ）由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，焦距为2，a²=b²+c²，
得c=1，a=

2

，b2=(

2

)2-1=1
所以，椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），∠CPQ=∠DPQ时，PC，PD的斜率之和为0
设直线PC的斜率为k，则PD的斜率为-k，
由题意知，直线PQ为x=1，不妨令P（1，

2

2

），Q（1，-

2

2

）
则PC的直线方程为y-

2

2

=k（x-1）代入椭圆方程，
可得（1+2k²）x²+2（

2

-2k）kx+（2k²-2

2

k+1）=0
∴x1+1=

2(2k- 2 )k

1+2k2

，
同理PD的直线方程为y-

2

2

=-k（x-1）代入椭圆方程，可得x2+1=

2(2k+ 2 )k

1+2k2

∴x₁+x₂=

8k2

1+2k2

-2=

4k2-2

1+2k2

，x₁-x₂=

-4 2 k

1+2k2

∴k_CD=

y1-y2

x1-x2

=

k(x1+x2)-2k

x1-x2

=

(4k2-2)k-2k(1+2k2)

-4 2 k

=

2

2

，
∴直线CD的斜率为定值

2

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．