Question

已知函数f（x）=log_ax（a＞1）的定义域和值域均为[s，t]，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：函数f（x）=log_ax（a＞1）的定义域和值域均为[s，t]，转化为f（x）与y=x的图象有两个交点，构造函数利用导数，
求最大值，然后求解a的范围．

解答：解：f（x）=logaX（a＞1），的定义域和值域均为[s，t]
那么f（x）与y=x的图象有两个交点
即方程f（x）-x=0有两个根．
设g（x）=f（x）-x=log_a^x-x
则g'（x）=

1

xlna

-1令g'（x）=0 得 x=

1

lna

=

log

e a

所以当x=log_e^a时g（x）取得最大值-log_a^lna-log_a^e
由-log_a^lna-log_a^e＞0 得
1＜a＜e

1

e

故答案为：（1，e

1

e

）．

点评：本题考查：函数的定义域、函数的值域、闭区间上函数的最值，构造法解题是高中数学的一大难点，本题是难题．