题目内容
已知函数f(x)=
sin2x+
f′(
)cos2x+f′(
)．
（1）求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）若不等式|f（x）-m|＜3对任意x∈(
，
]恒成立，求实数m的取值范围．
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 12 |
| π |
| 4 |
（1）求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）若不等式|f（x）-m|＜3对任意x∈(
| π |
| 12 |
| π |
| 3 |
分析：（1）根据导数公式先求出f（x）的表达式，然后利用三角函数的图象和性质即可求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）根据不等式恒成立的条件，将条件进行转化，即可求出实数m的取值范围．
（2）根据不等式恒成立的条件，将条件进行转化，即可求出实数m的取值范围．
解答：解：（1）∵函数f(x)=
sin2x+
f′(
)cos2x+f′(
)．
∴f'（x）=2
cos2x-f′(
)sin2x，
令x=
，得f′(
)=2
×
-f′(
)×
，
解得f′(
)=2，
f′(
)=2
cos?
-f′(
)sin
=-f′(
)=-2，
∴f（x）=
sin2x+cos2x+-2=2sin(2x+
)-2，
∴函数的最小周期T=π，最小值为-4．
（2）由（1）知，f（x）=
sin2x+cos2x+-2=2sin(2x+
)-2，
当x∈(
，
]时，2x+
∈(
，
]，
∴sin（2x+
）∈[
，1]，
∴-1≤f（x）≤0，
又不等式|f（x）-m|＜3对任意x∈(
，
]恒成立，
∴
，
∴
，
即-3＜m＜2．
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 12 |
| π |
| 4 |
∴f'（x）=2
| 3 |
| π |
| 12 |
令x=
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| π |
| 12 |
| 1 |
| 2 |
解得f′(
| π |
| 12 |
f′(
| π |
| 4 |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
∴f（x）=
| 3 |
| π |
| 6 |
∴函数的最小周期T=π，最小值为-4．
（2）由（1）知，f（x）=
| 3 |
| π |
| 6 |
当x∈(
| π |
| 12 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 5π |
| 5 |
∴sin（2x+
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∴-1≤f（x）≤0，
又不等式|f（x）-m|＜3对任意x∈(
| π |
| 12 |
| π |
| 3 |
∴
|
∴
|
即-3＜m＜2．
点评：本题主要考查导数的计算，以及三角函数的图象和性质的应用，利用三角函数的公式求出函数f（x）的表达式是解决本题的关键．考查学生的计算能力．
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