题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
2
2
），且离心率为
2
2
，过点B（2，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M、N．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求
.
BM
•
.
BN
的取值范围．
分析：（Ⅰ） 由椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
2
2
），且离心率为
2
2
，可得
e=
c
a
=
2
2
1
a2
+
1
2b2
=1
a2=b2+c2
，解得即可．
（II）由题意可知直线l的斜率存在，设其方程为y=k（x-2）．与椭圆方程联立得到△＞0即根与系数的关系，再利用数量积即可得出．
解答：解：（Ⅰ） 由椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
2
2
），且离心率为
2
2
，
可得
e=
c
a
=
2
2
1
a2
+
1
2b2
=1
a2=b2+c2
，解得
a2=2
b=c=1
．
∴椭圆的方程为
x2
2
+y2=1．
（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在，设其方程为y=k（x-2）．
设M（x1，y1），N（x2，y2）．由
y=k(x-2)
x2
2
+y2=1
得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0．
△=64k4-4（1+2k2）（8k2-2）＞0，得0≤k2＜
1
2
．
∴x1+x2=
8k2
1+2k2
，x1x2=
8k2-2
1+2k2
．
∵
BM
=(x1-2，y1)，
BN
=(x2-2，y2)，
∴
BM
•
BN
=（x1-2）（x2-2）+y1y2=（1+k2）（x1-2）（x2-2）=（1+k2）[x1x2-2（x1+x2）+4]=(1+k2)
2
1+2k2
=1+
1
1+2k2
，
∵0≤k2＜
1
2
，∴
3
2
＜1+
1
2k2
≤2，
∴
.
BM
•
.
BN
的取值范围是(
3
2
，2]．
点评：题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到判别式△＞0即根与系数的关系、数量积运算等基础知识与基本技能，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
1
2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
PF1
•
PA
的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
AH
2=
MH
•
HN
，求证：直线l恒过定点．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
3
2
，且经过点M（2，1），直线y=
1
2
x+m(m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．
（2013•威海二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
6
3
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
ND
•
MP
AB
2
为定值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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