Question

如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

(1)求证：AE⊥平面BCE；(2)求二面角B-AC-E的大小；(3)求点D到平面ACE的距离.

Answer 1

解法一：(1)证明：∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE.

∵二面角DABE为直二面角，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE.

∴CB⊥AE.

∴AE⊥平面BCE.

(2)连结BD交AC于G，连结FG，

∵正方形ABCD边长为2，

∴BG⊥AC,BG=.

∵BF⊥平面ACE，

由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC,

∴∠BGF是二面角B-AC-E的平面角.

由(1)AE⊥平面BCE，

又∵AE=EB,

∴在等腰直角三角形AEB中，BE=.

又∵直角△BCE中，,BF=,

∴直角△BFG中，sin∠BGF=.

∴二面角B-AC-E等于arcsin.

(3)过点E作EO⊥AB交AB于点O，OE=1.

∵二面角D-AB-E为直二面角，

∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h,

∵V_D―ACE=V_E―ACD,

∴

∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥EC.

∴h=.

∴点D到平面ACE的距离为.

解法二：(1)同解法一.

(2)以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点且平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O―xyz,如图.

∵AE⊥面BCE，BE面BCE，

∴AE⊥BE.

在Rt△AEB中，AB=2，O为AB的中点，∴OE=1.

∴A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).

=(1,1,0),=(0,2,2).

设平面AEC的一个法向量为n=(x, y, z),

则即解得

令x=1,得n=(1,-1,1)是平面AEC的一个法向量.

又平面BAC的一个法向量为m=(1,0,0),

∴cos〈m,n〉=.

∴二面角B-AC-E的大小为arccos.

(3)∵AD∥z轴，AD=2，

∴=(0,0,2).

∴点D到平面ACE的距离

d=|||cos〈,n〉|=

.