Question

已知函数f(x)=,x∈［1,+∞).

(1)当a=时,判断证明f(x)的单调性并求f(x)的最小值;

(2)若对任意x∈［1,+∞),f(x)＞1恒成立,试求实数a的取值范围.

Answer 1

解:(1)当a=时,f(x)=x++2,在［1,+∞)上任取x₁＜x₂,

f(x₁)-f(x₂)=(x₁-x₂)(1)＞0,所以f(x)在［1,+∞)为单调递增,

f(x)的最小值应为当x=1时取到f(1)=;

(2)在区间［1,+∞)上,f(x)=＞1等价于x²+x+a＞0,

而g(x)=x²+x+a=(x+)²+a在［1,+∞)上递增,

所以当x=1时,g(x)_min=2+a,当且仅当g(x)_min=2+a＞0时,恒有f(x)＞1,

即实数a的取值范围为a＞-2.