Question

已知f（x）=x³-

9

2

x2+6x-abc，a＜b＜c，f（a）=f（b）=f（c）=0，以下结论：
①f（0）f（1）＞0；
②f（0）f（1）＜0；
③f（0）f（2）＞0；
④f（0）f（2）＜0．
其中正确结论的序号为：

②③

．

Answer 1

分析：先求导数，确定函数的极值点，由a＜b＜c，f（a）=f（b）=f（c）=0，确定极值点和a，b，c的对应关系，然后判断符号．

解答：解：函数的导数为f'（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2）．
当1＜x＜2时，f'（x）＜0；当x＜1，或x＞2时，f'（x）＞0
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，1）和（2，+∞），单调递减区间为（1，2），即函数在x=1处取得极大值f（1）=1-

9

2

+6-abc=

5

2

-abc，
函数在x=2处取得极小值f（2）=8-

9

2

×4+6×2-abc=2-abc．
要使f（x）=0有三个解a、b、c，那么结合函数f（x）草图可知：a＜1＜b＜2＜c，
且及函数有个零点x=b在1～2之间，所以f（1）=

5

2

-abc＞0，且f（2）=2-abc＜0
所以2＜abc＜

5

2

．
又f（0）=-abc＜0，所以f（0）f（1）＜0，f（0）f（2）＞0．
即②③正确．
故答案为：②③．

点评：本题考查函数的零点、极值点，解不等式，综合性强，利用数形结合可以使本题直观．