Question

已知、都是定义在R上的函数，若存在实数m、n使得，则称为、在R上生成的函数。若，.

（1）判断函数是否为、在R上生成的函数，并说明理由；

（2）记为、在R上生成的一个函数，若，且的最大值为4，

求。

Answer 1

解：（1）函数不是、在R上生成的函数。

理由：假设函数是、在R上生成的函数，

则存在实数m、n使得

令，得 ①

令，得 ②

由①②矛盾知：函数不是、在R上生成的函数

（2）设

则 , ∴  , ∴

设，则函数可化为：，

当时，函数化为：，

∵ 当时，    ∴ ，符合题意

当时，函数化为：

当时，即时

∵ 当时，

∴ 由得，不符合舍去

当时，即或（舍去）时

∵ 当时，

∴ 由，得或（舍去）

∴     ∴ ，符合题意

当时，即时，不符合舍去

当时，函数的对称轴

∵ 当时，

∴ 由得，不符合舍去

综上所述，或