Question

已知函数f(x)=|ex+

a

ex

|，(a∈R)在区间[0，1]上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

A．a∈[0，1]

B．a∈（-1，0]

C．a∈[-1，1]

D．a∈（-∞，-1]∪[1，+∞）

Answer 1

分析：结合对勾函数，指数函数单调性及单调性的性质，分别讨论a＞0，a=0，a＜0时，实数a的取值范围，综合讨论结果可得答案．

解答：解：当a＞0时，y=ex+

a

ex

在（-∞，

1

2

lna]上为减函数，在[

1

2

lna，+∞）上为增函数，且y=ex+

a

ex

＞0恒成立
若函数f(x)=|ex+

a

ex

|，(a∈R)在区间[0，1]上单调递增，
则y=ex+

a

ex

在[0，1]上单调递增
则

1

2

lna≤0
解得a∈（0，1]
当a=0时，f(x)=|ex+

a

ex

|=ex在区间[0，1]上单调递增，满足条件
当a＜0时，y=ex+

a

ex

在R单调递增，令y=ex+

a

ex

=0，则x=ln

-a

则f(x)=|ex+

a

ex

|在（0，ln

-a

]为减函数，在[ln

-a

，+∞）上为增函数
则ln

-a

≤0，解得a≥-1
综上，实数a的取值范围是[-1，1]
故选C

点评：本题考查的知识点是指数函数单调性的应用，函数单调性的性质，其中a＞0的关键是对勾函数的单调性，a＜0时的关键是函数单调性的性质，另外熟练掌握函数解析式加绝对值后对函数单调性的影响也是解答的关键．