Question

如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆上的上顶点，直线AF₂交椭圆于另一点B，
（1）若∠F₁AB=90°，求椭圆的离心率；
（2）若椭圆的焦距为2，且

AF2

=2

F2B

，求椭圆的方程．
（3）在（2）的条件下，求△F₁AB的面积．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得∠AF₂O=45°，由此能求出椭圆的离心率．
（2）c=1，设B（x，y），则

AF2

=（1，-b），

F2B

=（x-1，y），由

2(x-1)=1 2y=-b

，能求出椭圆方程．
（3）由（2）知A（0，b），B（

3

2

，-

b

2

），从而S△F1AB=

1

2

|F1F2|•|yA-yB|=c•

3

2

b，由此能求出结果．

解答： 解：（1）∵AF₁=AF₂=a，又∠F₁AB=90°，
∴∠AF₂O=45°，
∴

c

a

=cos45°=

2

2

，
∴椭圆的离心率e=

2

2

．…（4分）
（2）∵2c=2，∴c=1，设B（x，y），由于A（0，b），F₂（1，0），
∴

AF2

=（1，-b），

F2B

=（x-1，y），
∴

2(x-1)=1 2y=-b

，∴

x= 3 2 y=- b 2

，…（6分）
∴

9

4a2

+

b2

4b2

=1，∴a²=3，又c=1，∴b²=2．
故所求椭圆方程是

x2

3

+

y2

2

=1．…（9分）
（3）由（2）知A（0，b），B（

3

2

，-

b

2

），
∴S△F1AB=

1

2

|F1F2|•|yA-yB|=c•

3

2

b，
∵c=1，∴b²=2，
∴S△F1AB=

3

2

2

．

点评：本题考查椭圆离心率的求法，考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．