Question

设函数f（x）=x³-3tx+m（x∈R，m和t为常数）是奇函数．
（Ⅰ）求实数m的值和函数f（x）的图象与x轴的交点坐标；
（Ⅱ）求f（x）（x∈[0，1]）的最大值F（t）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据f（x）为R上的奇函数，则f（0）=0，可求出m的值，令f（x）=0，讨论t的取值范围，分别求出方程的解，即为函数图象与x轴的交点横坐标，从而求出所求；
（Ⅱ）讨论t的取值范围，利用导数符合判定函数的单调性，从而求出函数在[0，1]上的最值，从而求出f（x）（x∈[0，1]）的最大值F（t）．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（0）=0，则m=0，
设f（x）=x³-3tx=x（x²-3t）=0，
①当t＜0时，上述方程只有一个实数根x=0，
∴f（x）与x轴的交点坐标为（0，0）；
②当t=0时，上述方程有三个相等实数根x₁=x₂=x₃=0，
∴f（x）与x轴的交点坐标为（0，0）；
③当t＞0时，上述方程的解为x₁=0，x_2，3=±

3t

，
∴f（x）与x轴的交点坐标分别为（0，0），（

3t

，0），（-

3t

，0）．
综合①②③，当t＜0时，f（x）与x轴的交点坐标为（0，0），
当t=0时，f（x）与x轴的交点坐标为（0，0），
当t＞0时，f（x）与x轴的交点坐标分别为（0，0），（

3t

，0），（-

3t

，0）．
（Ⅱ）∵f（x）=x³-3tx，
∴f′（x）=3（x²-t），x∈[0，1]，
①当t≤0时，f′（x）≥0，则f（x）在[0，1]上为增函数，
∴f（x）在x∈[0，1]上的最大值为F（t）=f（1）=1-3t；
②当t＞0时，f′（x）=3（x+

t

）（x-

t

），
令f′（x）=0，则x₁=-

t

，x₂=

t

，
令f′（x）＞0，则x＜-

t

或x＞

t

，令f′（x）＜0，则-

t

＜x＜

t

，
列表如下：

x	（-∞，- t ）	- t	（- t ， t ）	t	（ t ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

又∵x∈[0，1]，
∴当1≤

3t

，即t≥

1

3

时，f（x）在x∈[0，1]上的最大值为F（t）=f（0）=0，
当

3t

＜1，即0＜t＜

1

3

时，f（x）在x∈[0，1]上的最大值为F（t）=f（1）=1-3t，
综上所述，F(t)=

1-3t，t＜ 1 3 0，t≥ 1 3

．

点评：本题主要考查了奇函数的性质，以及利用导数研究函数的最值，同时考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题．