Question

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的焦距为2，两准线间的距离为10.设A(5,0)，B(1，0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点A作直线与椭圆C只有一个公共点D，求过B，D两点，且以AD为切线的圆的方程；(6分)

(3)过点A作直线l交椭圆C于P，Q两点，过点P作x轴的垂线交椭圆C于另一点S,若=t（t＞1），求证：=t.

Answer 1

解:(1)设椭圆的标准方程为+=1(a＞b＞0),依题意得得∴b²=4.

∴椭圆的标准方程为+=1.

(2)设过点A的直线方程为y=k(x-5)，代入椭圆方程+=1得

(4+5k²)x²-50k²x+125k²-20=0.(*)依题意得Δ=0，即(50k²)²-4(4+5k²)(125k²-20)=0,

得k=±，且方程的根为x=1,∴D(1,±).

当点D位于x轴上方时，过点D与AD垂直的直线与x轴交于点E，

直线DE的方程是y-=(x-1)，∴E(,0).

所求圆即为以线段DE为直径的圆，故方程为(x)²+(y)=.

同理可得：当点D位于x轴下方时，圆的方程为(x)²+(y+)=.

(3)设P(x₁,y₁)，Q(x₂,y₂),由=t得代入

∴(**)要证=t，即证

由方程组(**)可知方程组①成立,②显然成立.∴=t.