Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．

（1）求椭圆的方程：

（2）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标；

（3）若直线与椭圆交于、两点，证明直线与直线的交点在直线上．

Answer 1

,

解析:

解：（1）设椭圆方程为

将、、代入椭圆E的方程，得

解得.

∴椭圆的方程                                                                                        

（2），设边上的高为

             当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为．

             设的内切圆的半径为，因为的周长为定值6．所以，

               所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为                     

（3）法一：将直线代入椭圆的方程并整理．

得．

设直线与椭圆的交点，

由根系数的关系，得．

直线的方程为：，它与直线的交点坐标为

同理可求得直线与直线的交点坐标为．

下面证明、两点重合，即证明、两点的纵坐标相等：

，

因此结论成立．

综上可知．直线与直线的交点住直线上．                       

法二：直线的方程为：

由直线的方程为：，即

由直线与直线的方程消去，得

        

        

∴直线与直线的交点在直线上．