Question

【题目】一个多面体的三视图正视图、侧视图、俯视图如图所示，M，N分别是，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）若这个多面体的六个顶点A，B，C，，，都在同一个球面上，求这个球的体积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）根据三视图的性质，可得该几何体是直三棱柱，且，，连接，，矩形中对角线的中点N就是的中点．结合M是的中点证出，由线面平行的判定定理，证出平面．

（2）由平面，得到正方形中可得，结合线面垂直判定定理，证出平面，再由，可得平面；

（3）根据三棱柱是直三棱柱，在矩形中算出可得，从而得到，同理得，所以点N是多面体的外接球心，得到半径由球的体积公式，即可算出该外接球的体积．

解：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且，，

（1）连接，，由直三棱柱的性质，得平面，

，可得四边形为矩形．

由矩形的性质，得过的中点N．

在中，由中位线性质得，

又平面平面，平面

（2）平面，平面，

在正方形中，可得

又，平面

又，平面

（3）多面体为直三棱柱，

矩形中，

可得，

是直角三角形斜边的中线，

同理可得

是这个多面体的外接球的球心，半径，

外接球的体积