Question

【题目】已知中，角、、所对的边分别是、、，且，，有以下四个命题：①满足条件的不可能是直角三角形；②当时，的周长为15；③当

时，若为的内心，则的面积为；④ 的面积的最大值为40．其中正确命题有__________（填写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

①，考虑勾股定理的逆定理，即可判断；
②，运用正弦定理可得，运用三角函数的恒等变换，即可得到所求周长；
③，运用正弦定理和三角函数的恒等变换、三角形的面积公式和等积法，即可得到所求面积．
④，运用圆的方程和三角形的面积公式，即可得到所求最大值；

对于①，，即，设，由 ，可得 ，满足条件的可能是直角三角形，故①错误；
对于②，，，，可得，由正弦定理可得，可得，由

可得：，解得

可得，可得：，则，故②正确；
对于③，由②得．
设的内切圆半径为，则．故③正确．
对于④，对于①，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，可得 ，可得，设 ，
可得，平方可得 ，

即有

化为

则的轨迹是以 ，半径为的圆，可得的面积的最大值为 故④正确；
故答案为：②③④．