题目内容
如图，平面
平面
，四边形
为矩形，
．
为
的中点，
.（1）求证：
；（2）若
与平面
所成的角为
，求二面角
的余弦值.
（1）证明见解析；（2）
.
解析试题分析：（1）本小题证明的是线线垂直，把问题转化为证明线面垂直（线面垂直
线线垂直），即证
平面
，从而有
；（2）本小题可从传统几何方法及空间向量方法入手，法一：先证
，
为等边三角形，取
的中点
，连结
，
，可证得
为二面角
的平面角，在三角形FMP中用余弦定理的推论完成求值；法二：利用空间向量解决面面角问题，只需找到这两个面的法向量
，利用公式
完成计算即可，但要注意本题面面角为钝二面角.
试题解析：（1）证明：连结
，因
，是的中点，故
．又因平面
平面
，故
平面，于是
．又
，所以
平面
，所以
，又因
，故平面，所以．
（2）解法一：由（1），得
．不妨设
，
．因
为直线与平面
所成的角，故
，所以
，为等边三角形．设
，则，
分别为
，
的中点，也是等边三角形．取的中点，连结，，则
，
，所以为二面角的平面角．在
中，
，
，故
，即二面角的余弦值为．
解法二：取
的中点
，以
为原点，
，
，
所在的直
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中，
于
，三边分别是
，则有
；类比上述结论，写出下列条件下的结论：四面体
中，
的面积分别是
，二面角
的度数分别是
，则
．
中，
丄平面
，
丄
，
丄
，
，
，
.
丄
的正弦值；
外接球的体积.
中，平面
侧面
，且
；
与平面
所成的角为
，求锐二面角
的大小。
CD＝1，PD＝
.
？
．
平面
．
中，
．有下列条件：
；②
；③
．其中能成为
的充要条件的是（填上该条件的序号）________。