Question

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n．已知a₄=2，S₅=20．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求T_n；
（3）设bn=

1

n(12-an)

(n∈N*)，R_n=b₁+b₂+…+b_n，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N^*，均有Rn＞

m

32

成立？若存在，求出m值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设数列a_n的公差为d，根据题意列出关于首项和公差的方程组，解上面方程组首项及公差，最后写出数列a_n的通项公式即可；
（2）先由a_n≥0且a_n+1＜0，解得数列从第五项开始为负值，从而利用分段函数结合等差数列的前n项和公式写出T_n即可；
（3）由bn=

1

n(12-an)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂项相消求和得R_n，利用R_n单调递增，即R1=

1

4

是数列R_n的最小值，即可求得m的最大值．

解答：解：（1）设数列a_n的公差为d，则

a1+3d=2 5a1+ 5•4 2 •d=20

．（2分）
解上面方程组得

a1=8 d=-2

..（3分）
所以，数列a_n的通项公式为a_n=8+（n-1）•（-2）
即a_n=10-2n..（4分）
（2）由a_n≥0且a_n+1＜0，解得
当n≤5时T_n=-n²+9n；（5分）
当n＞5时T_n=n²-9n+40；（7分）
所以，Tn=

-n2+9n n≤5 n2-9n+40 n＞5

（n∈N^*）（8分）
（3）由bn=

1

n(12-an)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，裂项相消求和得Rn=

n

2(n+1)

（10分）
因为Rn+1-Rn=

1

2(n+2)(n+1)

＞0，所以R_n单调递增，即R1=

1

4

是数列R_n的最小值，（12分）
要使Rn＞

m

32

对n∈N^*总成立，只须

m

32

＜R1=

1

4

，
所以m＜8又因为m∈Z，所以m的最大值为7（14分）

点评：本小题主要考查数列的求和、函数单调性的应用、数列与不等式的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于基础题．