Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax2+2bx+c有两个极值点x₁，x₂且x₁，x₂满足-1＜x₁＜1＜x₂＜2，则直线bx-（a-1）y+3=0的斜率的取值范围是（　　）

• A．(-

  2

  5

  ，

  2

  3

  )
• B．(-

  5

  2

  ，

  3

  2

  )
• C．(-

  2

  5

  ，

  1

  2

  )
• D．(-∞，-

  2

  5

  )∪(

  2

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：求导数，利用函数f(x)=

1

3

x3+ax2+2bx+c有两个极值点x₁，x₂且x₁，x₂满足-1＜x₁＜1＜x₂＜2，确定平面区域，根据斜率的几何意义，即可求得斜率的取值范围．

解答：解：求导数可得：f'（x）=x²+2ax+2b∵f（x）有两个极值点x₁，x₂，∴f'（x）有两个零点
∵-1＜x₁＜1＜x₂＜2，∴-1＜-a＜2，∴-2＜a＜1               ①
又f'（-1）=-2a+2b+1＞0，即2a-2b-1＜0，②
f'（1）=2a+2b+1＜0，③
f'（2）=4a+2b+4＞0，即2a+b+2＞0       ④
在坐标系aOb中，满足①②③④的可行域如图所示
直线bx-（a-1）y+3=0的斜率k=

b

a-1

，表示可行域中动点M（a，b）与定点D（1，0）连线的斜率
由

2a+2b+1=0 2a+b+2=0

，可得

a=- 3 2 b=1

，此时与定点D（1，0）连线的斜率为

1-0

- 3 2 -1

=-

2

5

由

2a-2b-1=0 2a+b+2=0

，可得

a=- 1 2 b=-1

，此时与定点D（1，0）连线的斜率为

-1-0

- 1 2 -1

=

2

3

∴直线bx-（a-1）y+3=0的斜率的取值范围是(-

2

5

，

2

3

)
故选A．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查线性规划知识，确定平面区域，明确目标函数的几何意义是关键．