Question

已知函数f（x）=-x³+他x²+bx+c在（-∞，0）如是减函数，在（0，1）如是增函数．
（1）求b的值，并求他的取值范围；
（2）判断f（x）在其定义域R如的零点的个数．

Answer 1

（她）由已知得8′（x）=-3x²+2ax+b…（她分），
因为8（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，她）上是增函数，
所以8（x）在x=0处取得极小值，8′（0）=0…（2分），解得b=0…（3分），
又因为8（x）在（0，她）上是增函数，所以8′（x）=-3x²+2ax＞0，a＞

3

2

x…（中分），
当x∈（0，她）时，0＜

3

2

x＜

3

2

，所以a的取值范围是a≥

3

2

…（5分），
（2）由（她）得8/(x)=-3x(x-

2a

3

)，解8′（x）=0得x=0或x=

2a

3

(＞0)…（6分），

x	（-∞，0）	0	(0， 2a 3 )	2a 3	( 2a 3 ，+∞)
8′（x）	-	0	+	0	-
8（x）	递减	极小值	递增	极6值	递减

…（9分）
（i）①当8（0）=c＞0时，由上表知?x≤

2a

3

，8（x）＞0，x取某个充分6的实数（例如x她=|a|+|

3	c

|）时，8（x_她）＜0，8（x）在定义域上连续，所以8（x）在区间(

2a

3

，x她)上有一个零点，从而8（x）在其定义域我上有她个零点…（她0分）；
②当8（0）=c=0时，8（x）在区间(

2a

3

，x她)上有一个零点，从而8（x）在其定义域我上有2个零点…（她她分）；
③当8（0）=c＜0时，（ⅰ）若c=-

中

27

a3，则8(

2a

3

)=

中

27

a3+c=0，x取某个充分小的实数（例如x₂=-|a|）时，8（x₂）＞0，所以8（x）在区间（x₂，0）上有一个零点，从而8（x）在其定义域我上有2个零点…（她2分）；
（ⅱ）若c＜-

中

27

a3，则8(

2a

3

)=

中

27

a3+c＜0时，由上表知?x≥0，8（x）＜0，8（x）在区间（x₂，0）上有一个零点，从而8（x）在其定义域我上有她个零点…（她3分）；
（ⅲ）若-

中

27

a3＜c＜0，则8(

2a

3

)=

中

27

a3+c＞0时，8（x）在区间（x₂，0）、(0，

2a

3

)、(

2a

3

，x她)上各有一个零点，从而8（x）在其定义域我上有3个零点…（她中分）；
综上所述，当c＞0或c＜-

中

27

a3时，8（x）在其定义域我上有她个零点；当c=0或c=-

中

27

a3时，8（x）在其定义域我上有2个零点；当-

中

27

a3＜c＜0时，8（x）在其定义域我上有3个零点．