题目内容

已知数列{a_n}满足a_n＞0，a₁=m，其中0＜m＜1，函数 $数学公式$ ．
（1）若数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），（n≥1，n∈N），求a_n；
（2）若数列{a_n}满足a_n+1≤f（a_n），（n≥1，n∈N）．数列{b_n}满足 $数学公式$ ，求证：b₁+b₂+…+b_n＜1．

解：（1）由题设知 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为首项1为差的等差数列，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（2）由条件可得： $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
∵0＜m＜1
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ．所以 $\text{[math]}$ ，由此能求出a_n．（2）由 $\text{[math]}$ ．知 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．由此能够证明b₁+b₂+…+b_n＜1．
点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的灵活运用．

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