Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f(x)=(

1

2

)x．
（I）求f（-1）的值；
（II）求函数f（x）的值域A；
（III）设函数g(x)=

-x2+(a-1)x+a

的定义域为集合B，若A⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）∵函数f（x）是定义在R上的偶函数
∴f（-1）=f（1）
又x≥0时，f(x)=(

1

2

)x
∴f(1)=

1

2

，即f（-1）=

1

2

．
（II）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，
可得函数f（x）的值域A即为
x≥0时，f（x）的取值范围，
当x≥0时，0＜(

1

2

)x≤1
故函数f（x）的值域A=（0，1]．
（III）∵g(x)=

-x2+(a-1)x+a

定义域B={x|-x²+（a-1）x+a≥0}={x|x²-（a-1）x-a≤0}
方法一：由x²-（a-1）x-a≤0得（x-a）（x+1）≤0
∵A⊆B∴B=[-1，a]，且a≥1（13分）
∴实数a的取值范围是{a|a≥1}
方法二：设h（x）=x²-（a-1）x-a
A⊆B当且仅当

h(0)≤0 h(1)≤0

即

-a≤0 1-(a-1)-a≤0

∴实数a的取值范围是{a|a≥1}