Question

如图，设斜率为的直线l与椭圆（a＞b＞0）相交于A，B两点，若弦AB中点P的坐标为（，2），F为其右焦点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若F点到直线l的距离为，求△FAB的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出A，B的坐标，利用点差法，可求得，从而可求椭圆的离心率；
（2）利用F点到直线l的距离为，确定椭圆的方程，从而可求△FAB的面积．
解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中点P的坐标为（，2）
∴x₁+x₂=-5，y₁+y₂=4
∵直线l的斜率为，∴=
∵A，B在椭圆上，
∴，
两式相减可得：+=0
∴+=0
∴，∴
∴；
（2）由（1）设a=5k，b=4k，则c=3k（k＞0），∴F（3k，0）
直线l的方程为y-2=（x+），即4x-5y+20=0
∵F点到直线l的距离为，∴=，∴k=1
∴椭圆方程为
∵直线l过椭圆上顶点（0，4）与左顶点（-5，0）
∴|AB|=
∴S_△FAB=．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．