Question

【题目】平行四边形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，，，且，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）若直线上存在点，使得，所成角的余弦值为，求与平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

(1)取的中点或取中点,利用证平行四边形的方法再证明平面即可.

(2)根据勾股定理与余弦定理证明,再根据面面垂直的性质得出平面即可证明.

(3) 以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系.

设,再利用空间向量求解关于线面角的问题即可.

（1）解法1：取的中点,连结,,,

在直角梯形中,,,

所以四边形为平行四边形,

所以,

在中,,

所以,

又因为,

所以平面平面,

又平面,

所以平面.

解法2：取中点,连结,,

在中,,,

所以,且,

又,,

所以,,

所以四边形为平行四边形,

所以,

因为平面,平面,

所以平面.

（2）在中,,,

所以,

所以,

所以,

又平面平面,平面平面,平面,

所以平面,

因为平面,

所以.

（3）由（1）（2）以为原点,以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系.

所以,,,,,

所以,

所以,,,

设,

所以,

所以,

所以,

所以,

所以,

设平面的法向量为,

所以,

所以令,则,

如与平面成的角为,

所以.

所以,即与面成的角为.