Question

如图，椭圆(a＞b＞0)的一个焦点为F(1，0)，且过点(2，0)．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x＝4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．

(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；

(ⅱ)求△AMN面积的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)由题设a＝2，c＝1，从而b2＝a2－c2＝3， 　　所以椭圆C前方程为． 　　(Ⅱ)(i)由题意得F(1，0)，N(4，0)． 　　设A(m，n)，则B(m，－n)(n≠0)，＝1．　　① 　　AF与BN的方程分别为：n(x－1)－(m－1)y＝0， 　　n(x－4)－(m－4)y＝0． 设M(x0，y0)，则有 　　由②，③得 　　x0＝． 　　 　　所以点M恒在椭圆G上． 　　(ⅱ)设AM的方程为x＝xy＋1，代入＝1得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0． 　　设A(x1，y1)，M(x2，y2)，则有：y1＋y2＝ 　　|y1－y2|＝ 　　令3t2＋4＝λ(λ≥4)，则 　　|y1－y2|＝ 　　因为λ≥4，0＜ 　　|y1－y2|有最大值3，此时AM过点F． 　　△AMN的面积S△AMN＝ 　　解法二： 　　(Ⅰ)问解法一： 　　(Ⅱ)(ⅰ)由题意得F(1，0)，N(4，0)． 　　设A(m，n)，则B(m，－n)(n≠0)，　　① 　　AF与BN的方程分别为：n(x－1)－(m－1)y＝0，　　② 　　n(x－4)－(m－4)y＝0，　　③ 　　由②，③得：当≠．　　④ 　　由④代入①，得＝1(y≠0)． 　　当x＝时，由②，③得： 　　解得与a≠0矛盾． 　　所以点M的轨迹方程为即点M恒在锥圆C上． 　　(Ⅱ)同解法一． 　　本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力，满分14分．