Question

已知函数f（x）=

lnx，     x≥1 1 e (x+2)(x-a)，x＜1

（a为常数，e为自然对数的底数）的图象在点A（e，1）处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是

(-3+2

2

，

2

3

)∪(-∞，-3-2

2

)

．

Answer 1

分析：利用导数的几何意义求出切线方程，利用分段函数与切线有三个不同的交点，得到当x＜1时，切线和二次函数有两个不同的交点，利用二次函数根的分布建立不等式关系，即可求得a的取值范围．

解答：解：当x≥1，函数f（x）的导数，f'（x）=

1

x

，则f'（e）=

1

e

，
则在A（e，1）处的切线方程为y-1=

1

e

（x-e），即y=

1

e

x．
当x≥1时，切线和函数f（x）=lnx有且只有一个交点，
∴要使切线与该函数的图象恰好有三个公共点，
则当x＜1时，函数f（x）=

1

e

(x+2)(x-a)=

1

e

x，有两个不同的交点，
即（x+2）（x-a）=x，在x＜1时，有两个不同的根，
设g（x）=（x+2）（x-a）-x=x²+（1-a）x-2a，
则满足

△=(1-a)2-4?(-2a)＞0 g(1)＞0 - 1-a 2 ＜1

，
即

a2+6a+1＞0 1+1-a-2a＞0 a＜2

，
∴

a＞-3+2 2 或a＜-3-2 2 a＜ 2 3 a＜2

，
解得a＜-3-2

2

或-3+2

2

＜a＜

2

3

，
即实数a的取值范围是(-3+2

2

，

2

3

)∪(-∞，-3-2

2

)．
故答案为：(-3+2

2

，

2

3

)∪(-∞，-3-2

2

)．

点评：不同主要考查导数的几何意义，以及函数交点问题，利用二次函数的根的分布是解决本题的关键．考查学生分析问题的能力，综合性较强．