题目内容
已知函数f（x）=2sinωx•cosωx+2
cos2ωx-
（其中ω＞o），且函数f（x）的最小正周期为π
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移
单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的
倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．求函数g（x）的单调区间．
| 3 |
| 3 |
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
分析：（I）利用二倍角的三角函数公式结合辅助角公式进行化简，得f（x）=2sin（2ωx+
）．再利用三角函数的周期公式即可解出ω的值．
（II）根据函数图象平移的规律，可得函数y=g（x）的解析式为g（x）=2sin（4x+
），再由正弦函数的单调区间的结论解关于x的不等式，即可求出函数g（x）的单调区间．
| π |
| 3 |
（II）根据函数图象平移的规律，可得函数y=g（x）的解析式为g（x）=2sin（4x+
| 2π |
| 3 |
解答：解：（I）∵2sinωxcosωx=sin2ωx，cos2ωx=
（1+cos2ωx）
∴f（x）=sin2ωx+
（1+cos2ωx）-
=sin2ωx+
cos2ωx=2sin（2ωx+
）
∵函数f（x）的最小正周期为π
∴
=π，解之得ω=1
（II）由（I），得f（x）=2sin（2x+
）
将函数y=f（x）的图象向右平移
单位长度，得到y=f（x+
）的图象；
再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的
倍（纵坐标不变）得到y=f（2x+
）的图象
∴函数y=g（x）的解析式为y=2sin[2（2x+
）+
]，可得g（x）=2sin（4x+
）
令-
+2kπ≤4x+
≤
+2kπ，k∈Z，解之得-
+
≤x≤
+
，k∈Z
∴函数g（x）的单调增区间是[-
+
，
+
]，k∈Z
同理，令
+2kπ≤4x+
≤
+2kπ（k∈Z ），得g（x）的单调减区间是[
+
，
+
]，k∈Z
综上所述，可得g（x）的单调减区间是[
+
，
+
]，单调增区间是[-
+
，
+
]，k∈Z．
| 1 |
| 2 |
∴f（x）=sin2ωx+
| 3 |
| 3 |
=sin2ωx+
| 3 |
| π |
| 3 |
∵函数f（x）的最小正周期为π
∴
| 2π |
| 2ω |
（II）由（I），得f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
将函数y=f（x）的图象向右平移
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴函数y=g（x）的解析式为y=2sin[2（2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
令-
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 7π |
| 24 |
| kπ |
| 2 |
| 5π |
| 24 |
| kπ |
| 2 |
∴函数g（x）的单调增区间是[-
| 7π |
| 24 |
| kπ |
| 2 |
| 5π |
| 24 |
| kπ |
| 2 |
同理，令
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
| 5π |
| 24 |
| kπ |
| 2 |
| 17π |
| 24 |
| kπ |
| 2 |
综上所述，可得g（x）的单调减区间是[
| 5π |
| 24 |
| kπ |
| 2 |
| 17π |
| 24 |
| kπ |
| 2 |
| 7π |
| 24 |
| kπ |
| 2 |
| 5π |
| 24 |
| kπ |
| 2 |
点评：本题给出三角函数表达式，求函数的图象平移后所得图象对应函数的单调区间，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识点，属于中档题．
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