题目内容

设曲线y=
2-cosx
sinx
在点(
π
2
，2)处的切线与直线x+ay+1=0垂直，则a=
1
1
．
分析：求出函数y=
2-cosx
sinx
在点(
π
2
，2)处的导数，即为曲线在此点的切线斜率，再利用两直线垂直的性质求出a．
解答：解：y=
2-cosx
sinx
 的导数为 y′=
sinx•sinx -(2-cosx)cosx
sin2x
，
当x=
π
2
时，y′=1，
故y=
2-cosx
sinx
在点（
π
2
，2）处的切线斜率为1，
故与它垂直的直线 x+ay+1=0 的斜率为-
1
a
=-1，
∴a=1，
故答案为：1．
点评：本题考查函数在某点的导数就是函数在此点的切线斜率，以及两直线垂直的性质．
练习册系列答案
相关题目
设f（x）=ex（ax2+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行．
（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当θ∈[0，
π2
]时，|f(cosθ)-f(sinθ)|＜2．
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系、设曲线C参数方程为
x=
3
cosθ
y= sinθ
（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos(θ-
π
4
)=2
2
．
（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离．
（选做题）设P（x，y） 是曲线C：
x=-2+cosθ
y=sinθ
（θ为参数）上任意一点，则
y
x
的取值范围是
[-
3
3
，
3
3
]
[-
3
3
，
3
3
]
．
（考生注意：只能从下列A、B、C三题中选做一题，如果多做，则按第一题评阅记分）
A．（坐标系与参数方程选做题）曲线
x=cosα
y=1+sinα
（α为参数）与曲线ρ2-2ρcosθ=0的交点个数为
2
2
．
B．（不等式选讲选做题）设函数f(x)=
|x+1|+|x-2|-a
，若函数f（x）的定义域为R，则实数a的取值范围是
（-∞，3]
（-∞，3]
．
C．（几何证明选讲选做题）如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AC=6，圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为
5
，则AD=
2
3
2
3
．
（2012•江西模拟）（1）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为ρ=-2cos(θ+
π
2
)，
2
ρcos(θ-
π
4
)+1=0，则曲线C1上的点与曲线C2上的点的最远距离为
2
+1
2
+1
．
（2）（不等式选择题）设a=
x2-xy+y2
，b=p
xy
，c=x+y，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数P的取值范围是
（1，3）
（1，3）
．

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