Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且

AP

=

8

5

PQ

．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：x+

3

y+3=0相切，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）设出Q点坐标，由F，A的坐标表示出

FA

和

AQ

，根据

FA

⊥

AQ

得出

FA

•

AQ

=0看，进而求得x₀，设P（x₁，y₁）根据

AP

=

8

5

PQ

求得x₁和y₁的表达式，把点P的坐标代入椭圆方程进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．
（2）根据（1）中a和c的关系可知F和Q的坐标，△AQF的外接圆圆心和半径，进而根据

| 1 2 a+3|

2

=a求得a，进而根据a和b，c的关系求得b，则椭圆的方程可得．

解答：解：（1）设Q（x₀，0），由F（-c，0）A（0，b）知

FA

=(c，b)，

AQ

=(x0，-b)
∵

FA

⊥

AQ

，∴cx0-b2=0，x0=

b2

c

设P（x₁，y₁），
由

AP

=

8

5

PQ

得x1=

8b2

13c

，y1=

5

13

b
因为点P在椭圆上，所以

( 8b2 13c )2

a2

+

( 5 13 b)2

b2

=1
整理得2b²=3ac，即2（a²-c²）=3ac，2e²+3e-2=0，故椭圆的离心率e=

1

2

．

（2）由（1）知2b2=3ac，得

b2

c

=

3

2

a，由

c

a

=

1

2

，得c=

1

2

a
于是F（-

1

2

a，0）Q(

3

2

a，0)，
△AQF的外接圆圆心为（

1

2

a，0），半径r=

1

2

|FQ|=a
所以

| 1 2 a+3|

2

=a，解得a=2，
∴c=1，b=

3

，
所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的前提的是熟练掌握椭圆的基本性质．