题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足 $数学公式$ ．
（1）求证： $数学公式$ 是等差数列；
（2）求a_n的表达式；
（3）若b_n=-2a_n（n≥2），求证：b₂+b₃+…+b_n＜1．

（1）证明：∵-a_n=2S_n•S_n-1，∴-S_n+S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2），S_n≠0（n=1，2，3…）
∴ $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 是以2为首项，2为公差的等差数列
（2）解：由（1）得 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
当n≥2时， $\text{[math]}$
当n=1时， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（3）证明：由上知， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴b₂+b₃+…+b_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据-a_n=2S_n•S_n-1，可得-S_n+S_n-1=2S_nS_n-1（n≥2），从而可得 $\text{[math]}$ ，故可得 $\text{[math]}$ 是以2为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1）得 $\text{[math]}$ ，再利用当n≥2时， $\text{[math]}$ ，当n=1时， $\text{[math]}$ ，即可得到结论；
（3）根据b_n=-2a_n（n≥2），求出b_n=，再用裂项法求和，即可证得结论．
点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项的求法，考查不等式的证明，解题的关键是确定数列的通项，利用裂项法求和．