Question

过点P（1，1）作直线l，使得它被椭圆

x2

9

+

y2

4

=1所截出的弦的中点恰为P，则直线l的方程为

 

．

Answer 1

分析：设出过P点的直线交椭圆于B、C两点的坐标，代入椭圆方程作差，再结合F点是线段BC的中点，即可求出直线的斜率，即可得到直线方程．

解答：解：设过P点的直线交椭圆于B、C两点，B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）
则有4x₁²+9y₁²=36，4x₂²+9y₂²=36，
两式相减得：4（x₁+x₂）（ x₁-x₂）+9（y₁+y₂）（ y₁-y₂）=0
因为P点是线段BC的中点，所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=2
代入得：k_BC=

y1-y2

x1-x2

=-

4

9

所以l的方程为y-1=-

4

9

（x-1），即4x+9y-13=0．
故答案为：4x+9y-13=0．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系．解决本题的关键在于设出B、C两点的坐标，代入椭圆方程作差，再结合F点是线段BC的中点即可求出直线的斜率．这也是解决此类问题的常用方法．