Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

（a-1）x²+ax（a∈R）
（1）若f（x）在x=2处取得极值，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）在区间（0，1）内有极大值和极小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

f′（x）=x²+（a-1）x+a
（1）∵f（x）在x=2处取得极值
∴f′（2）=0
∴4+2（a-1）+a=0
∴a=-

2

3

∴f′(x)=x2-

5

3

x-

2

3

=(x+

1

3

)(x-2)
令f′（x）＞0则(x+

1

3

)(x-2)＞0
∴x＞2或x＜

1

3

∴函数f（x）的单调递增区间为(-∞，-

1

3

)，   (2，+∞)
（2）∵f（x）在（0，1）内有极大值和极小值
∴f′（x）=0在（0，1）内有两不等根
对称轴x=-

a-1

2

∴

△＞0 0＜- a-1 2 ＜1 f′(0)＞0 f′(1)＞0

即

△=(a-1)2-4a＞0 -1＜a＜1 a＞0 1+a-1+a＞0

∴0＜a＜3-2

2