Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=1，CB=

2

，侧棱AA₁=1，侧面AA₁B₁B的两条对角线交点为D，B₁C₁的中点为M．
（1）求证：CD⊥平面BDM；
（2）求二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，求出相关向量计算

CD

•

A1B

=0，

CD

•

DM

=0即得证，
（2）求出面B₁BD与面CBD的法向量，利用向量的数量积求解可得答案．

解答：证明：如图以C为原点建立坐标系．
（1）B（

2

，0，0），B₁（

2

，1，0），A₁（0，1，1），
D（

2

2

，

1

2

，

1

2

），
M（

2

2

，1，0），

CD

=（

2

2

，

1

2

，

1

2

），

A1B

=（

2

，-1，-1），

DM

=（0，

1

2

，-

1

2

），

CD

•

A1B

=0，

CD

•

DM

=0，
∴CD⊥A₁B，CD⊥DM．
因为A₁B、DM为平面BDM内两条相交直线，
所以CD⊥平面BDM．
（2）设BD中点为G，连接B₁G，
则G (

3 2

4

，

1

4

，

1

4

)，

BD

=（-

2

2

，

1

2

，

1

2

），

B1G

=(-

2

4

，-

3

4

，

1

4

)，
∴

BD

•

B1G

=0，∴BD⊥B₁G，
又CD⊥BD，∴

CD

与

B1G

的夹角θ等于所求二面角的平面角，
cos θ=

CD • B1G

| CD |•| B1G |

=-

3

3

．
又由于二面角A-BD-C的平面角与面B₁BD与面CBD所成二面角互补
所以所求二面角的大小为arccos

3

3

．

点评：本题以直三棱柱为载体，考查直线与平面的垂直判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．