Question

已知函数f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+a，x∈[

π

4

，

π

2

]，且f(

π

3

)=4．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先利用降幂公式进行降幂，都转化成二倍角，然后再利用辅助角公式化简，将

π

3

代入即可求出参数a；
（2）将原函数化简成f(x)=2sin(2x-

π

6

)+2，根据x的范围求出2x-

π

6

的范围，再根据正弦函数的单调性求出函数的值域．

解答：解：（1）由题意，得f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+a=1-cos2x+

3

sin2x+a=2sin(2x-

π

6

)+1+a（4分）
由f(

π

3

)=2sin

π

2

+1+a=4，得a=1
（2）由（1）得f(x)=2sin(2x-

π

6

)+2
当x∈[

π

4

，

π

2

]时，2x-

π

6

∈[

π

3

，

5

6

π]，sin(2x-

π

6

)∈[

1

2

，1]
∴f（x）∈[3，4]
故函数f（x）的值域为[3，4]．（14分）

点评：本题主要考查了降幂公式与二倍角公式的运用，以及正弦函数的值域的求解，通常先化简然后根据单调性求解，属于基础题．