Question

（2013•房山区一模）已知函数f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx-1
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f(

C

2

)=2且c²=ab，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为2sin(2x+

π

6

)，由此求得它的最小正周期．
（Ⅱ）由 f(

C

2

)=2sin(C+

π

6

)=2，求出sin(C+

π

6

)=1，可得C的值，再由余弦定理求得a=b，从而判断三角形为等边三角形．

解答：（Ⅰ）f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx-1=cos2x+

3

sin2x…（4分）=2(

1

2

cos2x+

3

2

sin2x)=2sin(2x+

π

6

)，…（6分）
故函数的最小周期为T=

2π

2

=π．…（7分）
（Ⅱ）因为 f(

C

2

)=2sin(C+

π

6

)=2，所以  sin(C+

π

6

)=1．
因为0＜C＜π，所以，

π

6

＜C+

π

6

＜

7π

6

，…（8分）
所以C+

π

6

=

π

2

，所以C=

π

3

．…（9分）
∵c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=ab，…（11分）
整理得 a=b，…（12分）
所以 三角形ABC为等边三角形．       …（13分）

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦函数的周期性、定义域和值域，根据三角函数的值求角，以及余弦定理，属于中档题．