Question

过定点A（-2，-1），倾斜角为45°的直线与抛物线y=ax²交于B、C，且|BC|是|AB|、?|AC|的?等比中项，求抛物线方程.

Answer 1

解：设A（-2，-1），B（x₁,y₁），C（x₂,y₂）在x轴上的射影分别为A′（-2，0），B′（x₁,0）,?C′（x₂,0）

∵|BC|²=|AB|·|AC|,?

∴|B′C′|²=|A′B′|·|A′C′|.?

于是有|x₁-x₂|²=（x₁+2）（x₂+2）.                             ①?

直线AC的方程为y=x+1，代入y=ax²并整理得

ax²-x-1=0，

∴    x₁+x₂=,x₁x₂=-.                                                 ②?

把②代入①得a=1或a=-.?

当a=1时，方程ax²-x-1=0的判断式Δ＞0；?

当a=-时，Δ=0，B、C重合，不合题意，舍去.?

∴抛物线方程为y=x².