Question

已知，为椭圆的左右顶点，为其右焦点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率；

（Ⅱ）过点的直线与椭圆的另一个交点为（不同于，），与椭圆在点处的切线交于点．当直线绕点转动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，半焦距为，

因为、为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，

所以， ．

又因为，所以．

故椭圆的方程为，离心率为．……5分

（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切. 证明如下：

由题意可设直线的方程为，

则点坐标为，中点的坐标为．

由得．

设点的坐标为，则．

所以，．

因为点坐标为，

当时，点的坐标为，点的坐标为，

直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．

当时，则直线的斜率.

所以直线的方程为．

点到直线的距离．

又因为 所以．

故以为直径的圆与直线相切．

综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切．………14分