题目内容
如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（1）求证：AC⊥平面BDE；
（2）设点M是线段BD 上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
【答案】分析：（1）根据DE⊥平面ABCD，由线面垂直的判定定理可知DE⊥AC，由ABCD是正方形可知AC⊥BD，而DE∩BD=D，满足线面垂直的判定所需条件，从而证得结论；
（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM=BD时，AM∥平面BEF．取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，则DE∥MN，且DE=3MN，而AF∥DE，且DE=3AF，则四边形AMNF是平行四边形，从而AM∥FN，AM?平面BEF，FN?平面BEF，满足线面平行的判定定理，从而证得结论．
解答：（1）证明：因为DE⊥平面ABCD，
所以DE⊥AC．…（2分）
因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，因为DE∩BD=D…（4分）
从而AC⊥平面BDE．…（6分）
（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM=BD时，AM∥平面BEF． …（7分）
取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，则DE∥MN，且DE=3MN，
因为AF∥DE，且DE=3AF，所以AF∥MN，且AF=MN，
故四边形AMNF是平行四边形． …（10分）
所以AM∥FN，
因为AM?平面BEF，FN?平面BEF，…（12分）
所以AM∥平面BEF． …（14分）
点评：本题主要考查了线面垂直的判定，以及线面平行的判定，同时考查了推理论证的能力，属于中档题．
（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM=BD时，AM∥平面BEF．取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，则DE∥MN，且DE=3MN，而AF∥DE，且DE=3AF，则四边形AMNF是平行四边形，从而AM∥FN，AM?平面BEF，FN?平面BEF，满足线面平行的判定定理，从而证得结论．
解答：（1）证明：因为DE⊥平面ABCD，
所以DE⊥AC．…（2分）
因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，因为DE∩BD=D…（4分）
从而AC⊥平面BDE．…（6分）
（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM=BD时，AM∥平面BEF． …（7分）
取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，则DE∥MN，且DE=3MN，
因为AF∥DE，且DE=3AF，所以AF∥MN，且AF=MN，
故四边形AMNF是平行四边形． …（10分）
所以AM∥FN，
因为AM?平面BEF，FN?平面BEF，…（12分）
所以AM∥平面BEF． …（14分）
点评：本题主要考查了线面垂直的判定，以及线面平行的判定，同时考查了推理论证的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
如图，ABCD是边长为a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD．
如图，ABCD是边长为2的正方形，面EAD⊥面ABCD，且EA=ED，EF∥AB，且EF=1，O是线段AD的中点，三棱锥F-OBC的体积为
（2012•宁城县模拟）如图，ABCD是边长为1的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF．
如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B'；折痕与AB交于点E，以EB和EB’为邻边作平行四边形EB’MB．若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：