Question

给出下列命题：
①若

a

²+

b

²=0，则

a

=

b

=

0

；
②已知

a

、

b

、

c

是三个非零向量，若

a

+

b

=

0

，则|

a

•

c

|=|

b

•

c

|，
③在△ABC中，a=5，b=8，c=7，则

BC

•

CA

=20；
④

a

与

b

是共线向量?

a

•

b

=|

a

||

b

|．
其中真命题的序号是

 

．（请把你认为是真命题的序号都填上）

Answer 1

分析：①由

a

²+

b

²=0，可得|

a

|=|

b

|=0，从而可得出答案；②

a

+

b

=0，∴

a

=-

b

，|

a

•

c

|=|

a

||

c

||cos＜

a

，

c

＞|，|

b

•

c

|=|

b

||

c

||cos＜

b

，

c

＞|=|

a

||

c

||cos＜-

a

，

c

＞|=|

a

||

c

||cos（π-＜

a

，

c

＞）|=|

a

||

c

||cos＜

a

，

c

＞|．即可判断；③由cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

25+64-49

2×5×8

=

1

2

.

BC

•

CA

=|

BC

||

CA

|cos（π-C）=5×8×（-

1

2

）=-20即可判断；④

a

与

b

是共线向量?

a

=λ

b

（

b

≠0）?

a

•

b

=λ

b

²，而|

a

||

b

|=|λ

b

||

b

|=|λ||

b

|²即可判断对错．

解答：解：根据向量的有关性质，依次分析可得：
①由

a

²+

b

²=0，可得|

a

|=|

b

|=0，∴

a

=

b

=

0

．∴①正确．
②

a

+

b

=0，∴

a

=-

b

，|

a

•

c

|=|

a

||

c

||cos＜

a

，

c

＞|，|

b

•

c

|=|

b

||

c

||cos＜

b

，

c

＞|=|

a

||

c

||cos＜-

a

，

c

＞|=
|

a

||

c

||cos（π-＜

a

，

c

＞）|=|

a

||

c

||cos＜

a

，

c

＞|．∴②正确．
③cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

25+64-49

2×5×8

=

1

2

.

BC

•

CA

=|

BC

||

CA

|cos（π-C）=5×8×（-

1

2

）=-20．∴③不正确．
④

a

与

b

是共线向量?

a

=λ

b

（

b

≠0）?

a

•

b

=λ

b

²，而|

a

||

b

|=|λ

b

||

b

|=|λ||

b

|²．
∴④不正确．
故答案为：①②．

点评：本题考查了四种命题的真假及平面向量数量积的运算，属于基础题，关键是注意细心运算．