Question

某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340m/s：相关各点均在同一平面上）

Answer 1

分析：以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（-1020，0），B（1020，0），C（0，1020），P（x，y）为巨响为生点，由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上，依题意能求出双曲线方程，从而确定该巨响发生的位置．

解答：解：如图，
以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（-1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x，y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=-x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|-|PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上，
依题意得a=680，c=1020，∴b²=c²-a²=1020²-680²=5×340²
故双曲线方程为

x2

6802

-

y2

5×3402

=1
用y=-x代入上式，得x=±680

5

，
∵|PB|＞|PA|，
∴x=-680

5

，y=680

5

，即P(-680

5

，680

5

)，故PO=680

10

答：巨响发生在接报中心的西偏北45⁰距中心680

10

m处．

点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时由题设条件作出图形，数形结合效果很好．