题目内容
已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax．（a≤0）（1）若f（x）在x=0处取得极值，求a的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）证明：(1+
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| 32n |
| e |
分析：（1）求出f′（x），因为f（x）在x=0时取得极值，所以f'（0）=0，代入求出a即可；
（2）分三种情况：a=0；a≤-1；-1＜a＜0，令f′（x）＞0得到函数的递增区间；令f′（x）＜0得到函数的递减区间即可；（3）由（2）知当a=-1时函数为减函数，所以得到ln（1+x2）＜x，利用这个结论根据对数的运算法则化简不等式的左边得证即可．
（2）分三种情况：a=0；a≤-1；-1＜a＜0，令f′（x）＞0得到函数的递增区间；令f′（x）＜0得到函数的递减区间即可；（3）由（2）知当a=-1时函数为减函数，所以得到ln（1+x2）＜x，利用这个结论根据对数的运算法则化简不等式的左边得证即可．
解答：解：（1）∵f′(x)=
+a，∵x=0使f（x）的一个极值点，则f'（0）=0，
∴a=0，验证知a=0符合条件．
（2）∵f′(x)=
+a=
①若a=0时，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；
②若
得，当a≤-1时，f'（x）≤0对x∈R恒成立，
∴f（x）在R上单调递减．
③若-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0
∴
＜x＜
再令f'（x）＜0，可得x＞
或x＜
∴f(x)在(
，
)上单调递增，
在(-∞，
)和(
，+∞)上单调递减
综上所述，若a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
若-1＜a＜0时，f(x)在(
，
)上单调递增(-∞，
)和(
，+∞)上单调递减；
若a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．
（3）由（2）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）单调递减
当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0
∴ln（1+x2）＜x，∴ln[（1+
）（1+
）…（1+
）]=ln（1+
）+ln（1+
）+…+ln（1+
）
＜
+
+…+
=
=
（1-
）＜
，∴（1+
）（1+
）…（1+
）＜e
=
| 2x |
| 1+x2 |
∴a=0，验证知a=0符合条件．
（2）∵f′(x)=
| 2x |
| 1+x2 |
| ax2+2x+a |
| 1+x2 |
①若a=0时，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；
②若
|
∴f（x）在R上单调递减．
③若-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0
∴
-1+
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| a |
-1-
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| a |
再令f'（x）＜0，可得x＞
-1-
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| a |
-1+
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| a |
∴f(x)在(
-1+
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| a |
-1-
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| a |
在(-∞，
-1+
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| a |
-1-
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| a |
综上所述，若a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
若-1＜a＜0时，f(x)在(
-1+
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| a |
-1-
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| a |
-1+
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| a |
-1-
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| a |
若a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．
（3）由（2）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）单调递减
当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0
∴ln（1+x2）＜x，∴ln[（1+
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＜
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点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，以及会用待定系数法求函数解析式，会利用单调性及对数函数运算证明不等式．会求等比数列的前n项的和．以及利用导数研究函数极值的能力．
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