Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形， ， 和均为等边三角形，且平面平面，点为中点.

（1）求证： 平面；

（2）若的面积为，求四棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）由线线平行得出线面平行；（2）由的面积为，求出，再算出四棱锥的体积。

试题解析：（1）取的中点，连接， ；

取的中点，连接，

因为是正三角形，所以.

因为，所以四边形为矩形，

从而， .

因为为的中位线,

所以， ，即， ，

所以四边形是平行四边形，

从而，

又面，

所以面.

（2）取的中点，连接，则.

过点作交于.

因为，面面，面面

所以面.

又因为面，

所以.

又因为， ， 、面，

所以面，

又因为面，

所以.

由于为中点，易知.

设，则的面积为，

解得，从而， .

因此，四棱锥的体积为

.