Question

19．两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂．统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与CA长度的平方成反比，比例系数为4，对城B的影响度与CB长度的平方成反比，比例系数为K．设CA=xkm，垃圾处理厂对城A和城B的影响度之和记为总影响度y；当C为弧AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．
（1）将y表示成x的函数；
（2）当x为多少时，垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？

Answer 1

分析 （1）先利用AC⊥BC，求出，再利用圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，得到y和x之间的函数关系，最后利用垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065求出k即可求出结果．
（2）利用基本不等式，找到函数的最小值即可．

解答 解：（1）由题意知AC⊥BC，BC²=400-x²，y=$\frac{4}{{x}^{2}}$+$\frac{k}{400-{x}^{2}}$（0＜x＜20）
当x=10$\sqrt{2}$时，y=0.065，所以k=9
所以y表示成x的函数为y=$\frac{4}{{x}^{2}}$+$\frac{9}{400-{x}^{2}}$（0＜x＜20）；
（2）y=$\frac{4}{{x}^{2}}$+$\frac{9}{400-{x}^{2}}$=$\frac{1}{400}$（x²+400-x²）（$\frac{4}{{x}^{2}}$+$\frac{9}{400-{x}^{2}}$）
=$\frac{1}{400}$[4+9+$\frac{4（400-{x}^{2}）}{{x}^{2}}$+$\frac{9{x}^{2}}{400-{x}^{2}}$]≥$\frac{1}{400}$（13+12）=$\frac{1}{16}$，
当且仅当$\frac{4（400-{x}^{2}）}{{x}^{2}}$=$\frac{9{x}^{2}}{400-{x}^{2}}$，即x=4$\sqrt{10}$时，y的最小值为$\frac{1}{16}$
以当x=4$\sqrt{10}$时，即当C点到城A的距离为4$\sqrt{10}$时，函数y=$\frac{4}{{x}^{2}}$+$\frac{k}{400-{x}^{2}}$（0＜x＜20）有最小值．

点评 本题主要考查函数在实际生活中的应用问题，涉及到函数解析式的求法以及基本不等式研究函数的最值问题，属于中档题目．