Question

已知函数F(x)=-x⁴+ax³+x²+b，(a，b为常数)，
(1)当a=1时，F(x)=0有两个不相等的实根，求b的取值范围；
(2)若F(x)有三个不同的极值点0、x₁、x₂，a为何值时，能使函数F(x)在x₁(或x₂)处取得的极值为b？
(3)若对任意的a∈[-1，0]，不等式F(x)≥-8在[-2，2]上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

解：(1)当a=1时，，
记，
则，
令g′(x)=0，得x=-1，0，4，
当x变化时，g′(x)、g(x)的变化情况如下表：

由已知，知直线y=b与y=g(x)的图象有且只有两个公共点，所以或b＞0，
∴b的取值范围为。
(2)，
则是的两个不相等的非零实根，
∴，且，（*）
不妨设，
∴，
即，①，
又∵，②
①+②，得，即，③
代入②，得x₁²-2ax₁=0，
∵x₁≠0，∴x₁=2a，
代入③，得，
∴a=-2或，经检验，a=-2或都满足(*)，
故a=-2或。
(3)当a∈[-1，0]时，可知，
∴恒成立，
∴x＞0时，f′(x)＜0；x＜0时，f′(x)＞0，
∴F(x)在(-∞，0)内递增，在(0，+∞)内递减，
∴F(x)在[-2，2]上的最小值min{F(-2)，F(2)}=2a²+18a-8+b≥-8恒成立，
∴，
当a=-1时，-2a²-18a取最大值16，
所以b的取值范围为[16，+∞)．